Etusivu >> Vedonlyöntimenetelmät >> Kellyn kaava

Veikkaus Sivustot

 

Kellyn kaava

Kellyn KaavatTodennäköisyysteoria jota kutsutaan nimellä: Kellyn kriteeri, Kellyn taktiikka, kellyn kaava tai Kelly bet on kaava, jota käytetään määrittelemään panostusten oikea suuruus vetoja tehtäessä.

Useimmissa uhkapeliin liittyvissä teorioissa ja joissakin sijoitusteorioissa jotka on alistettu joidenkin yksinkertaistavien oletusten alaisiksi, on Kellyn kaava piristävä poikkeus, sillä se todellakin toimii pitkässä juoksussa. Se kuvailtiin ensimmäisen kerran J.L.Kelly nuoremman toimesta Bell System Technical Journal lehdessä vuonna 1956. Edward O.Thorp demonstroi kaavan käytön käytännössä kirjoituksessaan Amerikan Mathematical Societylle ja myöhemmin kirjassaan "Beat the Dealer" ja saman teki Sheen Kassouf kirjallaan "Beat the Marker" joka liittyi sijoittamiseen.


Menesty käyttämällä Kellyn kaavaa

Vaikkakin Kellyn taktiikan lupaus menestyä paremmin, kuin käyttämällä mitään muuta kaavaa vaikuttaakin vastustamattomalta, niin jotkut taloustieteilijät ovat vastustaneet sitä jyrkästi, lähinnä siksi, että yksilön tietyt sijoitukset ovat yliampuvia johtuen heidän halustaan äärimmäiseen kasvuprosenttiin. Sovinnaisempi vaihtoehto on hyödyllisyys teoria, joka puhuukin siitä, että panoksille tulisi asettaa maksimi odotettuun hyötyyn nähden lopputuloksen suhteen(yksilöllä tulisi olla logaritminen apuohjelma, mutta Kelly bet maksimoi hyödyn itsessään, joten tässä suhteessa ei loppujen lopuksi ole ristiriittaa). Jopa Kellyn kannattajat ovat yleensä eri mieltä kellyn määrittämän osuuden suuruudesta pelikassasta(panostuksessa käytettävä kiinteä summa, joka on Kellyn suosittelema) monistakin käytännöllisistä syistä, kuten halusta vähentää volaritettiiä tai suojautumisessa ei pääteltävissä olevilta virheiltä omaksi edukseen laskennassa.

Viime vuosina, Kellystä on tullut osa valtavirran käyttämää teoriaa sijoittamisessa ja yleisesti onkin esitetty väittämiä, että hyvin tunnetut sijoittajat mukaanlukien Warren Buffet ja Bill Gross käyttäisivät Kellyn menetelmiä. Willian Poundstone kirjoitti laajasti suositun kappaleen historiaa, Kelly Bet systeemistä, kirjassaan "Fortune's Formula".


Kaavan käytäntöä

Yksinkertaisiin vetoihin joissa on kaksi mahdollista lopputulosta, toinen niistä sisältäen mahdollisuuden hävitä koko vetosumman ja toisen sisältäessä mahdollisuuden voittaa panostettu summa kerrottuna voittokertoimella, on Kellyn kaava tällöin tämä:

O* = (kt-h) : k

kaavamerkit:

O = osuus nykyisestä pelikassasta joka panostetaan
k = Panostukselle saatu kerroin (tarkoittaa sitä, että kertoimet yleensä mainitaan muodossa "kerroin on 1"
t = todennäköisyys voittamiselle
h = häviön todennäköisyys, joka on 1 - t

Esimerkki, jos vedonlyönnissä on 60% voittomahdollisuus (t= 0.60, h= 0.40), mutta vedonlyöjälle tarjotaan 1:1 kertoimet voittopanostukselleen (näin k= 1), tulisi tällöin vedonlyöjän panostaa 20% pelikassastaan kummallekin mahdollisuudelle (O= 0.20), maksimoidakseen näin pitkässä juoksussa pelikassansa kasvuprosentin.

Jos pelurilla on nolla etu, esimerkiksi: jos k= h:t, silloin tämän kriteerin mukaan suositellaan, että peluri ei tekisi minkäälaista panostusta(vaikkakin hieman monimutkaisemman skenaarion mukaan, missä esimerkiksi pienikertoiminen suosikki hevoskilpailuissa voi hyvinkin olla sen arvoinen, että se tarjoamallaan suojaverholla kattaa alapuolelle jäävät varjotekijät, vaikkakin ainoa edun antava veikkaus olisi toinen ulkopuolinen, on silti oikein lyödä vetoa taatakseen parhaan yhdistelmäkurssin palautukselle). Jos etu on negatiivinen (k<h:k), antaa kaava negatiivisen tuloksen, osoittaen että vedonlyöjän tulisi laittaa toiselle puolelle veto. Esimerkiksi: normaalissa Amerikkalaisessa ruletissa, vedonlyöjälle tarjotaan tasaraha maksutulosta(k=1) punaiselle värille, kun siinä on 18 punaista numeroa ja 20 ei punaista mahdollisuutta pyörässä(t=18/38). Kelly bet on tällöin - 1/19, tarkoittaen että pelurin tulisi panostaa yksi yhdeksästoista osa pelikassastaan , sille että punainen ei tule. Valitettavasti Kasino varaa tämän vetomahdollisuuden itselleen, joten Kelly peluri ei panosta tässä tapauksessa.

Tasaraha panostuksille (em.k= 1), voidaan kaava yksinkertaistaa näin:

O*= t-h.

Kun h = 1-k, tämä yksinkertaistuu vielä näin:

O*= 2k - 1.


Todisteita kaavan toimivuudesta

Ehdottomin ja yleisin todiste, katso Kellyn alkuperäinen paperi tai tai jokin muista listatuista viittauksista alapuolelta. Joitakin korjauksia voi löytää kirjasta : "Optimal Gambling Systems For Favourable Games - L.Breiman Kalifornian yliopisto, Los Angeles.

Tarjoamme tässä jonkun ei niin ehdottoman todisteen koskien kohtaa k= 1, havainnollistaaksemme tämän toiminnan ja tarjotaksemme jotain valaisua tähän.

Kun K= 1, Kelly vedonlyöjä panostaa 2t - 1 kertaisesti alkuperäisen varallisuutensa(W) mukaan, niinkuin yläpuolella on esitetty. Jos hän voittaa, on hänellä tällöin 2pV. Jos hän häviää, on hänellä 2(1-k)W. Oletetaan että hän tekee vedot(N) kuten tässä ja voittaa (V) osuuden niistä. Riippumatta siitä häviääkö vai voittaako hän, sillä ei ole väliä, sillä hänellä on:

2NpV (1-k)N-VW

Oletetaan, että toinen vedonlyöjä lyö vetoa eri summalla(E), silloin se menee näin (2K - 1 + E)W joillekin positiiviselle tai Negatiivisille E. Hänellä on (2K+E) voiton jälkeen ja [2(1-k)-E]W häviön jälkeen. Samojen voittojen ja häviöiden jälkeen Kelly pelurilla on :

(2K+E)V [2(1-k)-E]N-VW

Otetaanpa johdannainen edellisestä suhteeseen E ja saadaan:

V(2K+E)V-1 [2(1-k)-E]N-V W-[(N-V)2K+E]V[2(1-k)-E]N-V-1W

Joka on yhtä kuin nolla, jos:

V[2(1-k)-E]=(N-V)(2K+E)

Mikä ilmaisee:

E=2[(V:N)-k]


Mutta:

Rajoituksen ollessa N ---+ ääretön V:N=k

Joten pitkässä juoksussa, lopullinen varallisuus on maksimoitu asettamalla E nollan asemaan, mikä tarkoittaa seuraavaa Kellyn kaavassa.

Tämä osoittaa, että Kellyn kaavassa on niin determinisiä kuin stokastisia aineosia. Jos tiedät V:n ja N:n ja sinun pitää valita jatkuva osuus varallisuudesta panostettavaksi joka kerta (muuten voit huijata ja esim. panostaa nollalle Useamman V voiton jälkeen tietäen, että loput vedoista tulevat häviämään),näin saat kasaan eniten rahaa, jos panostat:

(2 V:N -1)W

Jokaisella kerralla. Tämä on muuttumaton totuus riippumatta siitä onko N iso vai pieni. Pitkän juoksun osuus Kellyssä on tarpeellista, koska et tiedä V:tä etukäteen, Vain sen että kun N tulee isoksi, V lähenee  kN:ää. Joku joka panostaa enemmän kuin Kelly, voi pärjätä paremmin jos V on suurempi kuin kN jaksoittain, joku joka panostaa vähemmän kuin Kelly voi pärjätä paremmin jos V on pienempi kuin  kN jaksoittain, mutta pitkässä juoksussa, Kelly aina voittaa. Loppupäätelmä on siis seuraavanlainen: Kellyn kaava on paras taktiikka voittaa Kasino, koska sen ylärajat ovat merkityksettömiä.