Poissonin laskentakaava

Poissonin laskentakaava on yhtälö, joka on läheinen Fourier sarjan kertoimille jaksoittaisesta funktion laajenemisesta yhtälön arvoon jatkuvassa Fourier muunnoksessa.

Julkilausuma | Derivointi | Sovellukset | Jakauma | Yleistykset | | Viitteet 

Julkilausuma

F:n asianmukaiseen toimintaan, Poissonin laskentakaava voidaan toteuttaa seuraavalla tavalla:

Esimerkki 1

Missä on Fourier muunnos(1) f:stä, φT  on ajoittainen laajeneminen f:stä ja T on aikamääre φT:lle(2).
Erityisesti tämä yhtälö osoittaa todeksi f:n sisäisen toiminnon ja

toisinaan C,δ > 0. Näissä olosuhteissa seuraa se, että f on jatkuva funktio.
Erityisesti, kun t=0 esimerkki 1:n yksinkertaistuu:

Esimerkki 2

Joka monesti tunnetaankin yksinkertaisesti Poissonin laskentakaavana(3). Tämä pätee vähemmän rajoittavien ehtojen alaisuudessa, kuten jos f on integroituva ja 0 on jatkuvuuden piste φT(t)(4). Kuitenkin se voi epäonnistua pysymään tasassa, kun kummatkin f ja  ovat jatkuvia ja summat lähenevät absoluuttista(5).  Sen sijaan ainakin muodollisesti oletuksesta esimerkki ykkönen pitää sisällään vähemmän rajoittavia olettamuksia kuin jos f olisi L1(R), mutta silloin on tarpeellista tulkita se niin, että oikeanpuoli on (mahdollisesti poikkeava) Fourier sarjan L1(0,T) funktio joka on määritetty vasemman puolen mukaan(6).

Tässä tapauksessa, voi olla välttämätöntä vakinaistaa summan laskenta ensin, mahdollistamaan integroituminen lähes missä tahansa tai L1:n täytyy ottaa sopiva Riesz:in tarkoitukseen soveltuva muoto, että molemmat muodot voivat lähentyä oikein(7).

Toisaalta taas esimerkki ykkösestä seuraa seuraavanlainen käännös esimerkki kakkosessa, että milloin tahansa jatkuvuus φT(t) Fourier muunnoksen ominaisuudessa  muuntuu:

Tämä antaa hieman heikomman kriteerin pisteittäiselle lähentymiselle esimerkki ykkösestä, että φT  on jatkuva missä kohdin tahansa vaikutuspiirissään. Riittävä edellytys jälkimmäiselle on tämä:

Derivointi

Todistamme tässä, että esimerkki 1. on järkevä, jos ƒ ∈ L1(R), silloin oikeapuoli on (mahdollisesti poikkeava) Fouries sarjasta vasemmalla puolella. Vasenpuoli on erittäin hyvin määritelty melkeinpä jokaisessa t:ssä, hallitsevan lähentymisteoreema sovelluksen mukaan ja vieläpä lisäksi se johtaa siihen, että φT  on väliltään lähenevä[0,T:n]. Oikealla puolella on Fourier sarjan muoto. Joten se on riittävä osoittamaan, että Fourier sarjan kertoimet φT(t):lle ovat , kuten tässä:

Missä summan muutos lähentymisessä on jälleen kerran perusteltavissa hallitsevalla lähestymisellä. Mahdollisuudella muunnoksiin (τ = t + nT) tästä tulee:

Sovellukset

Osittain poikkeavissa yhtälöissä, Poissonin kaava tarjoaa tiukkoja määritteitä perustaville ratkaisuille lämpö yhtälöissä sulauttaen suorakulmaiset rajat kuva metodilla. Tässä lämpöydin R2 ja se että suorakulmio on määritelty jaksotusta käyttäen. Poisonin laskentakaava tarjoaa samalla lailla yhteyden  Fourier analyysin ja Euclidean tilan välille(8), sekä myöskin Tori:n sitä vastaavilla mitoilla. Signaalikäsittelyssä, Poissonin laskentakaava johtaa  myös Nyguist-Shannon:in näytteenotto teoriaan(9).

Laskennallisesti, Poissonin laskentakaava on hyödyllinen, koska se hitaasti johtaa tulokseen, että todellinen tila on taatusti muuttuva nopeasti lähentyvien samanarvoisten summien kanssa Fourier tilassa(Laaja funktio todellisessa tilassa tulee suppeaksi funktioksi Fourier tilassa ja päinvastoin.) Tämä on keskeinen ajatus Ewald laskennan takana.

Poisonin laskentakaavaa voidaan käyttää pääteltäessä Landaun asymptoottista kaavaa määriteltäessä ristikkopisteitä laajassa Euclidean:in sfäärissä. Sitä voidaan myöskin käyttää osoittamaan, että jos lähenemis funktio, f ja omaava kummatkin kiinteän tuen, niin silloin f = 0 (Pinsky 2002).

Esimerkki:

Missä L on Laguerre funktio (joka pienentää polynomifunktion astetta s, siinä tapauksessa jos s on kokonaisluku);

Käytännössä:

Missä Γ ja γ ilmaisevat epätäydellistä gamma funktiota. Sarja on huomattavan lähenevä ja päinvastoin, vaikkakin funktion vastaava Fourier muunnos on olemassa -singulariteetin takia - vain muodollisessa käytössä.

Jakauman kaava

Esimerkki kakkosen yhtälö voidaan tulkita jakauman kielellä. Määritetään δ(t) olemaan Dirac Delta Funktio. Määritellään:

Laskemalla kaikkien kokonaisluku n:ksi. Se voidaan ilmaista myös ΔT mikä on karkea jakauma, joka tunnetaan Dirac Comb nimellä: intuitiivisesti, tämän seurauksena, koska Schwartz funktiota sovelletaan johonkin, niin yksi saa bi-ääretön sarjan minkä häntä hajoaa nopeasti. Yhtä voidaan sitten tulkita laskentakaavalla, niin kuin tässä kaavassa:

   Esimerkki 3

Tämä on kokonaisuuden normalisointia, ΔT on itsessään oma Fourier muunnos. Todellakin, jos f on scwartz funktio, niin silloin soveltamalla esimerkki kolmea f:ään tulee tulokseksi tarkalleen esimerkki kaksi; vaihtoehtoisesti; ottamalla konvuluution f:stä se antaa tulokseksi tarkalleen esimerkki yhden. Jos f on funktio tai jakauma, niin se on riittävän säännöllinen, jotta tällainen konvuluutio voidaan määritellä jakauman kannalta ja tällöin esimerkki yksi säilyttää myöskin järkevyytensä jakaumassa.

Yleistyksiä

Versio jossa Poisonin laskentakaava  pätee Euclidean tilassa vain pienillä muutoksilla. Määritellään Λ olemaan Lattice kohdassa Rd koostuen lähenevien koordinaattien pisteistä. Silloin sopiva funktio f:lle on⁽¹⁰⁾

Kuten yhden muuttujan tapauksessa, tämä säilyttää järkevyytensä fourier sarjassa, jos f:n oletetaan olevan lähenevä ja päinvastoin jos f täyttää hajoamismääreen

toisinaan C, δ > 0.

Yleisemmin puhuttaessa, julkilausuma pätee jos Λ korvataan yleisemmällä Latticella Rd. Dual Lattice Λ′ voidaan määritellä osajoukolla dual vektori tilasta tai vaihtoehtoisesti Pontryaganin kaksinaisuuden avulla. Silloin lausuma, on se että delta-funktioiden summa missä kohdin tahansa on Λ ja jokaisessa kohdassa missä on Λ′, on taas fourier muunnos jakaumassa käsiteltävä oikeanlaisena normalisointina.
Tämä soveltuu teoriaan theta funktioon ja on mahdollinen käytettävä metodi numeroiden geometriassa. Itse asiassa tuoreimmissa Lattice pisteiden laskemisessa alueittain, sitä käytetään rutiininomaisesti – laskennassa  yhteen osoitin funktioita alueelta D lattice pisteiden alueella, mikä on tarkalleen kyseessä, joten LHS laskentakaavassa on se mitä etsitään ja RHS on jotakin sellaista mitä vastaan voidaan hyökätä matemaattisella analyysilla.
Vielä enemmän yleistämällä paikallisesti tiiviit Abelian ryhmiä vaaditaan numeroteoriassa. Ei vaihdannaisessa harmonisessa analyysissa, ideaa viedään vielä pidemmälle Selbergin kaavassa, mutta se ottaa paljon syvemmän luonnehdinnan.

Viitteet:

1. 
2. Grafakos 2004, §3.1.5       
3. Stein & Weiss 1971, §VII.2    
4. Pinsky 2002;  Zygmund 1968   
5. Katznelson 1976 
6. Stein & Weiss 1971, §VII.2
7. Stein & Weiss 1971, §VII.2
8. Grafakos 2004
9. Pinsky 2002
10. Stein Weiss, §VII.2